DM de maths 2

Ex 1 : n°49 p.34 du livre

1) a)  Il suffit de définir un polynôme P tel que P(x) = ax² + bx + c 

Ensuite faire P(x+1) - P(x) soit a(x+1)² + b(x+1) + c - (ax² + bx + c) = x

Je vous laisse faire le développement et la simplification... Attention aux signes !!!

A la fin on arrive à : 2ax + a + b = x   =>  donc 2a = 1 (coefficients de x)  donc a=1/2

Comme a et b ne sont que d'un côté de l'équation on a : a+b=0   => b = -1/2

Donc votre polynôme sera   P(x) = x²/2 - x/2 (c étant quelconque on peut l'enlever). En factorisant on arrive à   P(x) = (x(x-1))/2

b) Je vous laisse faire les calculs... Pour x=n suffit de remplacer x par n ou (n+1) !!

c) S1 est donc égale à P(2) - P(1) + P(3) - P(2) + P(4) - P(3) + ... + P(n+1) - P(n)

Comme tout s'annule (ou presque !!!) il reste P(n+1) - P(1) (mais P(1) = 0) donc ensuite on rempalce x par (n+1) dans le polynôme de départ et on a notre somme : S1 = (n(n+1))/2

2) a) Là je reconnais c'est un chouïa plus compliqué mais en reprenant la méthode utilisée au-dessus on y arrive !

Polynôme de départ : Q(x) =  ax³ + bx² +cx + d

Attention au développement de Q(x+1) - Q(x) : a(x+1)³ + b(x+1)² + c(x+1) + d - (ax3 + bx² + cx + d) = x²

A la fin on a :  3ax² + 3ax + a + 2bx + b + c = x²

=> 3a = 1  => a = 1/3

=> 3a + 2b = 0  => 1 + 2b = 0 => b = -1/2

=> a + b + c = 0 => 1/3 - 1/2 + c = 0 => c = 1/6
Votre polynôme est donc  Q(x) = x³/3 - x²/2 + x/6 (d étant quelconque on peut l'enlever).

b) Même méthode que plus haut sauf qu'à la fin on obtient S2 = (2n³ + 3n² + n)/6 que l'on peut factoriser par n : (n(2n² + 3n + 1))/6 

On peut encore factoriser 2n² + 3n + 1 en (2n + 1)(n + 1).

Vous devrez développer la forme factorisée qui servira comme justification.

Voilà !!!

Pour l'exercice sur les racines, je vous laisse faire, il n'y a aucune difficulté !

Si vous rencontrez un quelconque problème, postez un commentaire et j'essaierai d'être plus explicite !

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